Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10

Ôn tập chương 3

Bài 5 (trang 93 SGK Hình học 10)

Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8).

a, Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC;

b, Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng.

c, Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a)

- Ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Gọi (x,y) là tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Viết phương trình đường cao BD:

Ta có: BD ⊥ AC

⇒ Đường thẳng BD có 1 vtpt là   

         BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7x + 11y – 91 = 0

+ Viết phương trình đường cao CE:

Ta có: CE ⊥ AB

⇒ Đường thẳng CE có 1 vtpt là   

        CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng CE: x – 2y – 13 = 0.

H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hệ pt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC, ta có:

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT² = BT²

⇒ (x – 4)² + (y – 3)² = (x – 2)² + (y – 7)²

⇒ x² – 8x + 16 + y² – 6y + 9 = x² – 4x + 4 + y² – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (*)

+ TB = TC ⇒ TB² = TC²

⇒ (x – 2)² + (y – 7)² = (x + 3)² + (y + 8)²

⇒ x² – 4x + 4 + y² – 14y + 49 = x² + 6x + 9 + y² + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (**)

Từ (*) và (**) suy ra: x = –5, y = 1

Vậy: T(–5 ; 1).

+ Chứng minh T, G, H thẳng hàng

c) Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm là T(–5; 1)

Bán kính đường tròn là:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC :

(x + 5)² + (y – 1)² = 85

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10