Bài 30 (trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.
Lời giải:
Trong tam giác ABD ta có:
AB2 + AD2 = 2AN2 + BD2/2 (1)
Trong tam giác CBD ta có :
CD2 + CB2 = 2CN2 + BD2/2 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(AN2 + CN2) + BD2(3)
Xét tam giác CAN ta có :
AN2 + CN2 = 2MN2 + AC2/2 (4) vì M là trung điểm AC)
Thay (4) vào (3) ta được :
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2[2MN2 + AC2/2] + BD2 = AC2 + BD2 + 4MN2
Tham khảo toàn bộ: Giải bài tập Toán 10 nâng cao